home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NeXT Education Software Sampler 1992 Fall / NeXT Education Software Sampler 1992 Fall.iso / Mathematics / Notebooks / COSY_PAK / COSY_Notes / 07_State_Space.ma < prev   
Encoding:
Text File  |  1992-07-06  |  46.9 KB  |  1,532 lines
  1. (*^
  2.  
  3. ::[paletteColors = 128; showRuler; currentKernel; 
  4.     fontset = title, inactive, noPageBreakBelow, nohscroll, preserveAspect, groupLikeTitle, center, M7, L1, e8,  28, "Times"; ;
  5.     fontset = subtitle, inactive, noPageBreakBelow, nohscroll, preserveAspect, groupLikeTitle, center, M7, L1, e6,  22, "Times"; ;
  6.     fontset = subsubtitle, inactive, noPageBreakBelow, nohscroll, preserveAspect, groupLikeTitle, center, M7, L1, e6,  16, "Times"; ;
  7.     fontset = section, inactive, noPageBreakBelow, nohscroll, preserveAspect, groupLikeSection, grayBox, M22, L1, a20,  22, "Times"; ;
  8.     fontset = subsection, inactive, noPageBreakBelow, nohscroll, preserveAspect, groupLikeSection, blackBox, M19, L1, a15,  16, "Times"; ;
  9.     fontset = subsubsection, inactive, noPageBreakBelow, nohscroll, preserveAspect, groupLikeSection, whiteBox, M18, L1, a12,  14, "Times"; ;
  10.     fontset = text, inactive, nohscroll, noKeepOnOnePage, preserveAspect, M7, L1,  14, "Times"; ;
  11.     fontset = smalltext, inactive, nohscroll, noKeepOnOnePage, preserveAspect, M7, L1,  12;
  12.     fontset = input, noPageBreakInGroup, nowordwrap, preserveAspect, groupLikeInput, M42, N23, L-5,  14, "Courier"; ;
  13.     fontset = output, output, inactive, noPageBreakInGroup, nowordwrap, preserveAspect, groupLikeOutput, M42, N23, L-5,  14, "Courier"; ;
  14.     fontset = message, inactive, noPageBreakInGroup, nowordwrap, preserveAspect, groupLikeOutput, M42, N23, R65535, L-5,  14, "Courier"; ;
  15.     fontset = print, inactive, noPageBreakInGroup, nowordwrap, preserveAspect, groupLikeOutput, M42, N23, L-5,  14, "Courier"; ;
  16.     fontset = info, inactive, noPageBreakInGroup, nowordwrap, preserveAspect, groupLikeOutput, M42, N23, B65535, L-5,  14, "Courier"; ;
  17.     fontset = postscript, PostScript, formatAsPostScript, output, inactive, noPageBreakInGroup, nowordwrap, preserveAspect, groupLikeGraphics, M7, l34, w282, h287, L1,  14, "Courier"; ;
  18.     fontset = name, inactive, nohscroll, noKeepOnOnePage, preserveAspect, M7, L1,  12, "Times"; ;
  19.     fontset = header, inactive, noKeepOnOnePage, preserveAspect, M7, L1,  14, "Times"; ;
  20.     fontset = Left Header, inactive,  14, "Times"; ;
  21.     fontset = footer, inactive, noKeepOnOnePage, preserveAspect, center, M7, L1,  14, "Times"; ;
  22.     fontset = Left Footer, inactive,  14, "Times"; ;
  23.     fontset = help, inactive, nohscroll, noKeepOnOnePage, preserveAspect, M7, L1,  12;
  24.     fontset = clipboard, inactive, nohscroll, noKeepOnOnePage, preserveAspect, M7, L1,  14, "Times"; ;
  25.     fontset = completions, inactive, nohscroll, noKeepOnOnePage, preserveAspect, M7, L1,  14, "Times"; ;
  26.     fontset = special1, inactive, nohscroll, noKeepOnOnePage, preserveAspect, M7, L1,  14, "Times"; ;
  27.     fontset = special2, inactive, nohscroll, noKeepOnOnePage, preserveAspect, M7, L1,  14, "Times"; ;
  28.     fontset = special3, inactive, nohscroll, noKeepOnOnePage, preserveAspect, M7, L1,  14, "Times"; ;
  29.     fontset = special4, inactive, nohscroll, noKeepOnOnePage, preserveAspect, M7, L1,  14, "Times"; ;
  30.     fontset = special5, inactive, nohscroll, noKeepOnOnePage, preserveAspect, M7, L1,  14, "Times"; ;]
  31. :[font = title; inactive; preserveAspect; rightWrapOffset = 526; fontColorBlue = 65535; ]
  32.  
  33. COSY_PAK
  34. Control Systems Analysis Package
  35.   for Mathematica 
  36. ;[s]
  37. 3:0,0;49,1;60,2;62,-1;
  38. 3:1,25,19,Times,1,28,0,0,0;1,26,20,Times,3,28,0,0,0;1,25,19,Times,1,28,0,0,0;
  39. :[font = subtitle; inactive; preserveAspect; rightWrapOffset = 526; ]
  40.  
  41. By
  42.  D. Ostermiller        C.K. Chen      N. Sreenath 
  43.   1992
  44.        
  45. :[font = message; inactive; preserveAspect; center; rightWrapOffset = 526; fontName = "Courier"; ]
  46. Systems Engineering Department
  47. Case School of Engineering
  48. Case Western Reserve University
  49. Cleveland, OH, 44106-7070
  50. :[font = message; inactive; preserveAspect; center; rightWrapOffset = 526; ]
  51.  
  52.  
  53. Support from
  54. CWRU Information and Network Services - Dr. Ray Neff
  55. Case Alumni Association
  56. The Lilly Foundation
  57. :[font = input; preserveAspect; rightWrapOffset = 526; ]
  58.  
  59.  
  60.  
  61.  
  62. :[font = subtitle; inactive; preserveAspect; rightWrapOffset = 526; ]
  63. Chapter 7 
  64. State Space Analysis Methods 
  65.  
  66.  
  67. ;[s]
  68. 4:0,0;10,1;11,2;40,3;42,-1;
  69. 4:1,20,15,Times,1,22,65535,0,0;1,20,15,Times,1,22,0,0,0;1,20,15,Times,1,22,0,0,65535;1,16,12,Times,1,18,0,0,0;
  70. :[font = section; inactive; Cclosed; preserveAspect; rightWrapOffset = 526; startGroup; ]
  71. Initialization
  72. :[font = input; initialization; preserveAspect; rightWrapOffset = 526; ]
  73. *)
  74. (* Initialization of Path *)
  75.  
  76. (* Example For UNIX machine  (Default) *)   
  77.  
  78. $Path=Join[$Path,
  79.     {"~/Library/Mathematica/Packages"}];
  80.  
  81.  
  82. (* Example For IBM PC          *)
  83. (*
  84. $Path=Join[$Path,    
  85.      {"c:\winmath\packages"}];     
  86. *)     
  87.  
  88. (* Example For MAC          *)
  89. (*
  90. $Path=Join[$Path,    
  91.      {"My_Harddisk:Mathematica:Package"}];     
  92. *)     
  93. (*
  94. :[font = input; initialization; Cclosed; preserveAspect; rightWrapOffset = 526; startGroup; ]
  95. *)
  96. Needs["COSYPAK`chap7`"]
  97. (*
  98. :[font = print; inactive; preserveAspect; rightWrapOffset = 526; endGroup; endGroup; ]
  99. Support module has been loaded.
  100. Region of convergence routines for the transform rule bases are loaded.
  101. The knowledge base of signal processing operators has been loaded.
  102. Supporting routines for transform rule bases are loaded.
  103. Supporting routines and objects for the Laplace transform are loaded.
  104. Supporting routines for filter design are loaded.
  105. The forward Laplace transform rule base LaPlace has been loaded.
  106. The inverse Laplace transform rule base InvLaPlace has been loaded.
  107. :[font = section; inactive; Cclosed; preserveAspect; rightWrapOffset = 526; startGroup; ]
  108. Acknowledgements
  109. :[font = text; inactive; preserveAspect; rightWrapOffset = 526; endGroup; ]
  110. Special thanks to Brian Evans of Georgia Tech for the LaPlace transform and signal packages which is a part of the Signal Processing Packages :Copyright: Copyright 1989-1991 by Brian L. Evans, Georgia Tech Research Corporation.
  111.  
  112. :[font = section; inactive; Cclosed; preserveAspect; rightWrapOffset = 526; startGroup; ]
  113. Introduction
  114. :[font = text; inactive; preserveAspect; rightWrapOffset = 526; ]
  115.  In this notebook we consider linear time invariant control systems  in a  standard state space form
  116.                                                        x'(t) = Ax(t) + Bu(t)
  117.                                                        y(t) = Cx(t) + Du(t)
  118. where
  119. x = n element state vector
  120. u = r element input signal
  121. y = m element output vector
  122. A = n x n matrix
  123. B = n x r matrix
  124. C = m x n matrix
  125. D=  m x r matrix
  126. All matrices are constant real matricies making the system real time invariant. The notation x'(t) indicates the first derivative of the dependent variable "x" on the independent time variable "t". We refer to the above representation as a `standard form' throughout this notbook.
  127.  
  128.  Remark : Presently we support only single input single output systems (SISO), i.e., 
  129.                                             m =1 and  r=1.
  130.   Future versions would incorporate multi-input multi-output systems (MIMO).The general algorithms for these functions are given in :
  131.     Ogata, K., in "Modern Control Engineering", Second Edition", Prentice Hall, New Jersey, 1991. 
  132.  
  133.  Remark : The functions in this notebook were designed with the advanced  student or the established engineer in mind.  In this spirit, it is assumed that the user has an adequate knowledge of state space  systems and some experience with Mathematica. 
  134. ;[s]
  135. 8:0,0;693,1;702,2;837,3;1072,4;1078,5;1080,6;1081,7;1323,-1;
  136. 8:1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,2,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,2,14,0,0,0;1,11,8,Times,0,12,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;
  137. :[font = subsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; rightWrapOffset = 526; startGroup; ]
  138. Basic State Space Methods
  139. :[font = text; inactive; preserveAspect; rightWrapOffset = 526; ]
  140.    Basic methods such as ODE to state space, state space to transfer function, linearization of nonlinear system of equations is discussed in detail in the COSY_Notes notebook "02_Math_Models.ma". However, these functions have been loaded if you initialized the cells. To load these functions evaluate the Initialization cell.
  141. :[font = subsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; rightWrapOffset = 526; startGroup; ]
  142. ODE to State Space
  143. :[font = text; inactive; preserveAspect; rightWrapOffset = 526; fontName = "Courier"; endGroup; ]
  144. See "02_Math_Models" notebook for examples
  145. :[font = subsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; rightWrapOffset = 526; startGroup; ]
  146. State Space to Transfer Function
  147. :[font = text; inactive; preserveAspect; rightWrapOffset = 526; fontName = "Courier"; endGroup; ]
  148. See "02_Math_Models" notebook for examples
  149. :[font = subsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; rightWrapOffset = 526; startGroup; ]
  150. Linearization of a Nonlinear System of Equations
  151. :[font = text; inactive; preserveAspect; rightWrapOffset = 526; fontName = "Courier"; endGroup; endGroup; ]
  152. See "02_Math_Models" notebook for examples
  153. :[font = subsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; rightWrapOffset = 526; startGroup; ]
  154. Support Linear Algebra Functions
  155. :[font = text; inactive; preserveAspect; rightWrapOffset = 526; ]
  156. The functions written for this project can be divided into two main groups.  These groups are support functions and main functions.  Support functions are functions that are primarily used by the main functions while the main functions are designed for operation by the user.
  157.     
  158.     The support functions are  matrixpower, rank, and, tpose.  These functions are used within the main functions.   
  159.     
  160.     Generally, Mathematica functions are given names with the first letter of the name capitalized (such as Inverse[A]) and with the beginning letter of any separate word included 
  161. in the function name capitalized ( the command IdentityMatrix[n] is an example).  
  162.     
  163. Note : Some of the functions that we give here  have equivalents in Mathematica 2.0 and higher. 
  164.  
  165. COSY_PAK Function
  166. matrixpower[A, n]:  The function matrixpower returns the matrix An, where n is a  positive integer.  This function is used by the COSY_PAK functions controllable, observable, placepolegain,  and obspoleplace functions.
  167. ;[s]
  168. 19:0,0;658,1;664,2;753,3;756,4;774,5;794,6;839,7;840,8;904,9;913,10;923,11;935,12;937,13;947,14;949,15;962,16;969,17;981,18;993,-1;
  169. 19:1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,2,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,13,10,Times,32,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,11,8,Times,0,12,0,0,0;
  170. :[font = text; inactive; Cclosed; preserveAspect; rightWrapOffset = 526; startGroup; ]
  171. COSY_PAK Function                     
  172. rank[A]: returns the rank of  matrix A.
  173.  
  174.  The function rank returns the integer value corresponding to the number of  linearly independent rows in the matrix A.  The rank function is used by the  functions observable, controllable, and outcont.
  175. ;[s]
  176. 9:0,0;8,1;9,2;17,3;39,4;46,5;76,6;77,7;81,8;283,-1;
  177. 9:1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,11,8,Times,0,12,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;
  178. :[font = subsubsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; rightWrapOffset = 526; startGroup; ]
  179. Example 
  180. :[font = input; preserveAspect; rightWrapOffset = 526; endGroup; endGroup; ]
  181. a={{1,1},{-2,-1}};
  182. rank[a]
  183. :[font = text; inactive; preserveAspect; rightWrapOffset = 526; endGroup; endGroup; ]
  184. COSY_PAK Function
  185. tpose[A]:  returns the transpose of matrix A.
  186. ;[s]
  187. 3:0,0;26,1;61,2;63,-1;
  188. 3:1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,10,8,Times,1,12,0,0,0;
  189. :[font = section; inactive; Cclosed; preserveAspect; rightWrapOffset = 526; startGroup; ]
  190. State Trantition Matrix
  191. :[font = text; inactive; preserveAspect; rightWrapOffset = 526; ]
  192.    The solution of a linear  time invariant system represented in a state space form involves the evaluation of the state transition matrix. It can be proved that the state transition matrix is equivalent to the evaluating the exp(At)=exponential of the matrix (A  t).
  193.    The matrix exp(At) of a square matrix A  can be calculated according to the equation
  194.                      exp(At) = L-1 {[sI - A]-1}.
  195.  
  196. COSY_PAK Function                     
  197. ExpAt[a]: returns exponential matrix of square matrix A.                     
  198. ;[s]
  199. 12:0,0;389,1;391,2;401,3;403,4;407,5;424,6;446,7;454,8;500,9;501,10;502,11;523,-1;
  200. 12:1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,13,10,Times,32,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,13,10,Times,32,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,11,9,Courier,1,14,0,0,0;1,11,9,Courier,0,14,0,0,0;1,11,9,Courier,1,14,0,0,0;1,11,9,Courier,0,14,0,0,0;1,11,8,Times,0,12,0,0,0;
  201. :[font = subsubsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; rightWrapOffset = 526; startGroup; ]
  202. Example 
  203. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; rightWrapOffset = 526; startGroup; ]
  204. a={{1,3},{6,-3}};
  205. results = ExpAt[a]
  206.  
  207. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; rightWrapOffset = 526; endGroup; endGroup; endGroup; ]
  208. {{((-2 + 22^(1/2))*E^((-1 - 22^(1/2))*t)*CStep[t])/88^(1/2) + 
  209.     ((2 + 22^(1/2))*E^((-1 + 22^(1/2))*t)*CStep[t])/88^(1/2), 
  210.    (3*CStep[t]*Sinh[22^(1/2)*t])/(22^(1/2)*E^t)}, 
  211.   {(3*(2/11)^(1/2)*CStep[t]*Sinh[22^(1/2)*t])/E^t, 
  212.    ((2 + 22^(1/2))*E^((-1 - 22^(1/2))*t)*CStep[t])/88^(1/2) + 
  213.     ((-2 + 22^(1/2))*E^((-1 + 22^(1/2))*t)*CStep[t])/88^(1/2)}}
  214. ;[o]
  215.                    (-1 - Sqrt[22]) t
  216.   (-2 + Sqrt[22]) E                  CStep[t]
  217. {{------------------------------------------- + 
  218.                    Sqrt[88]
  219.  
  220.                     (-1 + Sqrt[22]) t
  221.     (2 + Sqrt[22]) E                  CStep[t]
  222.     ------------------------------------------, 
  223.                      Sqrt[88]
  224.  
  225.    3 CStep[t] Sinh[Sqrt[22] t]
  226.    ---------------------------}, 
  227.                      t
  228.            Sqrt[22] E
  229.  
  230.           2
  231.    3 Sqrt[--] CStep[t] Sinh[Sqrt[22] t]
  232.           11
  233.   {------------------------------------, 
  234.                      t
  235.                     E
  236.  
  237.                    (-1 - Sqrt[22]) t
  238.    (2 + Sqrt[22]) E                  CStep[t]
  239.    ------------------------------------------ + 
  240.                     Sqrt[88]
  241.  
  242.                      (-1 + Sqrt[22]) t
  243.     (-2 + Sqrt[22]) E                  CStep[t]
  244.     -------------------------------------------}}
  245.                      Sqrt[88]
  246. :[font = section; inactive; Cclosed; preserveAspect; rightWrapOffset = 526; startGroup; ]
  247. Time Response Using State Space Methods
  248. :[font = text; inactive; preserveAspect; rightWrapOffset = 526; ]
  249.     To find the time response of a single input single output state space system of the standard form we first calculate the the state transition or the exponential of the matrix e(At).
  250. Since the system is a time invariant without loss of generality we can assume that the initial time is `0' and the final time is `t'. Alternately `t' represents the elapsed time or the time difference.
  251.     Thus we first calculate the time evolution of the state as
  252.                               x(t) = e(At) x0 + Integral{e[A(t-tau)] B u(tau) d tau, tau, 0,t}
  253. and then substitute for 
  254.                              y = C x(t) + D u(t).
  255.  
  256. The Mathematica function Plot can then be  used to produce the graph of y for values 0 <= time <= t.
  257.  
  258. COSY_PAK Function                 
  259. SysResponse[A, B, C, x0, input, s, {t, tmin, tmax}, gopts]: Graphs  system output y as a function of time for the system with matrices A, B, C, at initial state x0 from time tmin to tmax. Returns the time domain solutions for state x and output y.
  260.  
  261.  
  262. ;[s]
  263. 22:0,0;718,1;735,2;752,3;753,4;812,5;888,6;889,7;891,8;892,9;894,10;895,11;914,12;916,13;927,14;931,15;935,16;939,17;985,18;986,19;998,20;999,21;1002,-1;
  264. 22:1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,11,9,Courier,1,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;
  265. :[font = subsubsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; rightWrapOffset = 526; startGroup; ]
  266. Example 
  267. :[font = text; inactive; preserveAspect; rightWrapOffset = 526; ]
  268. In the following example we will evaluate the step response of  a SISO for 0<= time <=1.0 s. A description of the system in state space form is as given below.
  269. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; rightWrapOffset = 526; startGroup; ]
  270. a={{0,1},{-25,-1}};
  271. b={0,1};
  272. c={1,0};
  273. x0 = {1,1};
  274. input=CStep[t];
  275. results = SysResponse[a,b,c,x0,input,s,{t,0.01,1}]
  276. :[font = postscript; PostScript; formatAsPostScript; output; inactive; preserveAspect; rightWrapOffset = 526; pictureLeft = 34; pictureWidth = 466; pictureHeight = 288; ]
  277. %!
  278. %%Creator: Mathematica
  279. %%AspectRatio: 0.61803 
  280. MathPictureStart
  281. /Courier findfont 10  scalefont  setfont
  282. % Scaling calculations
  283. 0.01419 0.962001 0.249046 0.347306 [
  284. [(0)] 0.01419 0 0 2 0 Minner Mrotsboxa
  285. [(0.2)] 0.20659 0 0 2 0 Minner Mrotsboxa
  286. [(0.4)] 0.39899 0 0 2 0 Minner Mrotsboxa
  287. [(0.6)] 0.59139 0 0 2 0 Minner Mrotsboxa
  288. [(0.8)] 0.78379 0 0 2 0 Minner Mrotsboxa
  289. [(1)] 0.97619 0 0 2 0 Minner Mrotsboxa
  290. [(Time)] 0.5 0 0 2 0 0 -1 Mouter Mrotsboxa
  291. [(-0.5)] -0.0125 0.07539 1 0 0 Minner Mrotsboxa
  292. [(-0.25)] -0.0125 0.16222 1 0 0 Minner Mrotsboxa
  293. [(0)] -0.0125 0.24905 1 0 0 Minner Mrotsboxa
  294. [(0.25)] -0.0125 0.33587 1 0 0 Minner Mrotsboxa
  295. [(0.5)] -0.0125 0.4227 1 0 0 Minner Mrotsboxa
  296. [(0.75)] -0.0125 0.50952 1 0 0 Minner Mrotsboxa
  297. [(1)] -0.0125 0.59635 1 0 0 Minner Mrotsboxa
  298. [(Y\(t\))] -0.0125 0.30902 1 0 90 -1 0 Mouter Mrotsboxa
  299. [(Time Response of System )] 0.5 0.61803 0 -4 Msboxa
  300. [( )] 1.0375 0.30902 -1 0 90 Mrotsboxa
  301. [ -0.001 -0.001 0 0 ]
  302. [ 1.001 0.61903 0 0 ]
  303. ] MathScale
  304. % Start of Graphics
  305. 1 setlinecap
  306. 1 setlinejoin
  307. newpath
  308. %%Object: Graphics
  309. [ ] 0 setdash
  310. 0 setgray
  311. gsave
  312. gsave
  313. 0 0 0.5 setrgbcolor
  314. 0.001 setlinewidth
  315. 0.20659 0 moveto
  316. 0.20659 0.61803 lineto
  317. stroke
  318. grestore
  319. gsave
  320. 0 0 0.5 setrgbcolor
  321. 0.001 setlinewidth
  322. 0.39899 0 moveto
  323. 0.39899 0.61803 lineto
  324. stroke
  325. grestore
  326. gsave
  327. 0 0 0.5 setrgbcolor
  328. 0.001 setlinewidth
  329. 0.59139 0 moveto
  330. 0.59139 0.61803 lineto
  331. stroke
  332. grestore
  333. gsave
  334. 0 0 0.5 setrgbcolor
  335. 0.001 setlinewidth
  336. 0.78379 0 moveto
  337. 0.78379 0.61803 lineto
  338. stroke
  339. grestore
  340. gsave
  341. 0 0 0.5 setrgbcolor
  342. 0.001 setlinewidth
  343. 0 0.07539 moveto
  344. 1 0.07539 lineto
  345. stroke
  346. grestore
  347. gsave
  348. 0 0 0.5 setrgbcolor
  349. 0.001 setlinewidth
  350. 0 0.16222 moveto
  351. 1 0.16222 lineto
  352. stroke
  353. grestore
  354. gsave
  355. 0 0 0.5 setrgbcolor
  356. 0.001 setlinewidth
  357. 0 0.24905 moveto
  358. 1 0.24905 lineto
  359. stroke
  360. grestore
  361. gsave
  362. 0 0 0.5 setrgbcolor
  363. 0.001 setlinewidth
  364. 0 0.33587 moveto
  365. 1 0.33587 lineto
  366. stroke
  367. grestore
  368. gsave
  369. 0 0 0.5 setrgbcolor
  370. 0.001 setlinewidth
  371. 0 0.4227 moveto
  372. 1 0.4227 lineto
  373. stroke
  374. grestore
  375. gsave
  376. 0 0 0.5 setrgbcolor
  377. 0.001 setlinewidth
  378. 0 0.50952 moveto
  379. 1 0.50952 lineto
  380. stroke
  381. grestore
  382. gsave
  383. 0.002 setlinewidth
  384. 0.01419 0 moveto
  385. 0.01419 0.00625 lineto
  386. stroke
  387. grestore
  388. [(0)] 0.01419 0 0 2 0 Minner Mrotshowa
  389. gsave
  390. 0.002 setlinewidth
  391. 0.20659 0 moveto
  392. 0.20659 0.00625 lineto
  393. stroke
  394. grestore
  395. [(0.2)] 0.20659 0 0 2 0 Minner Mrotshowa
  396. gsave
  397. 0.002 setlinewidth
  398. 0.39899 0 moveto
  399. 0.39899 0.00625 lineto
  400. stroke
  401. grestore
  402. [(0.4)] 0.39899 0 0 2 0 Minner Mrotshowa
  403. gsave
  404. 0.002 setlinewidth
  405. 0.59139 0 moveto
  406. 0.59139 0.00625 lineto
  407. stroke
  408. grestore
  409. [(0.6)] 0.59139 0 0 2 0 Minner Mrotshowa
  410. gsave
  411. 0.002 setlinewidth
  412. 0.78379 0 moveto
  413. 0.78379 0.00625 lineto
  414. stroke
  415. grestore
  416. [(0.8)] 0.78379 0 0 2 0 Minner Mrotshowa
  417. gsave
  418. 0.002 setlinewidth
  419. 0.97619 0 moveto
  420. 0.97619 0.00625 lineto
  421. stroke
  422. grestore
  423. [(1)] 0.97619 0 0 2 0 Minner Mrotshowa
  424. gsave
  425. 0.001 setlinewidth
  426. 0.05267 0 moveto
  427. 0.05267 0.00375 lineto
  428. stroke
  429. grestore
  430. gsave
  431. 0.001 setlinewidth
  432. 0.09115 0 moveto
  433. 0.09115 0.00375 lineto
  434. stroke
  435. grestore
  436. gsave
  437. 0.001 setlinewidth
  438. 0.12963 0 moveto
  439. 0.12963 0.00375 lineto
  440. stroke
  441. grestore
  442. gsave
  443. 0.001 setlinewidth
  444. 0.16811 0 moveto
  445. 0.16811 0.00375 lineto
  446. stroke
  447. grestore
  448. gsave
  449. 0.001 setlinewidth
  450. 0.24507 0 moveto
  451. 0.24507 0.00375 lineto
  452. stroke
  453. grestore
  454. gsave
  455. 0.001 setlinewidth
  456. 0.28355 0 moveto
  457. 0.28355 0.00375 lineto
  458. stroke
  459. grestore
  460. gsave
  461. 0.001 setlinewidth
  462. 0.32203 0 moveto
  463. 0.32203 0.00375 lineto
  464. stroke
  465. grestore
  466. gsave
  467. 0.001 setlinewidth
  468. 0.36051 0 moveto
  469. 0.36051 0.00375 lineto
  470. stroke
  471. grestore
  472. gsave
  473. 0.001 setlinewidth
  474. 0.43747 0 moveto
  475. 0.43747 0.00375 lineto
  476. stroke
  477. grestore
  478. gsave
  479. 0.001 setlinewidth
  480. 0.47595 0 moveto
  481. 0.47595 0.00375 lineto
  482. stroke
  483. grestore
  484. gsave
  485. 0.001 setlinewidth
  486. 0.51443 0 moveto
  487. 0.51443 0.00375 lineto
  488. stroke
  489. grestore
  490. gsave
  491. 0.001 setlinewidth
  492. 0.55291 0 moveto
  493. 0.55291 0.00375 lineto
  494. stroke
  495. grestore
  496. gsave
  497. 0.001 setlinewidth
  498. 0.62987 0 moveto
  499. 0.62987 0.00375 lineto
  500. stroke
  501. grestore
  502. gsave
  503. 0.001 setlinewidth
  504. 0.66835 0 moveto
  505. 0.66835 0.00375 lineto
  506. stroke
  507. grestore
  508. gsave
  509. 0.001 setlinewidth
  510. 0.70683 0 moveto
  511. 0.70683 0.00375 lineto
  512. stroke
  513. grestore
  514. gsave
  515. 0.001 setlinewidth
  516. 0.74531 0 moveto
  517. 0.74531 0.00375 lineto
  518. stroke
  519. grestore
  520. gsave
  521. 0.001 setlinewidth
  522. 0.82227 0 moveto
  523. 0.82227 0.00375 lineto
  524. stroke
  525. grestore
  526. gsave
  527. 0.001 setlinewidth
  528. 0.86075 0 moveto
  529. 0.86075 0.00375 lineto
  530. stroke
  531. grestore
  532. gsave
  533. 0.001 setlinewidth
  534. 0.89923 0 moveto
  535. 0.89923 0.00375 lineto
  536. stroke
  537. grestore
  538. gsave
  539. 0.001 setlinewidth
  540. 0.93771 0 moveto
  541. 0.93771 0.00375 lineto
  542. stroke
  543. grestore
  544. [(Time)] 0.5 0 0 2 0 0 -1 Mouter Mrotshowa
  545. gsave
  546. 0.002 setlinewidth
  547. 0 0 moveto
  548. 1 0 lineto
  549. stroke
  550. grestore
  551. gsave
  552. 0.002 setlinewidth
  553. 0 0.07539 moveto
  554. 0.00625 0.07539 lineto
  555. stroke
  556. grestore
  557. [(-0.5)] -0.0125 0.07539 1 0 0 Minner Mrotshowa
  558. gsave
  559. 0.002 setlinewidth
  560. 0 0.16222 moveto
  561. 0.00625 0.16222 lineto
  562. stroke
  563. grestore
  564. [(-0.25)] -0.0125 0.16222 1 0 0 Minner Mrotshowa
  565. gsave
  566. 0.002 setlinewidth
  567. 0 0.24905 moveto
  568. 0.00625 0.24905 lineto
  569. stroke
  570. grestore
  571. [(0)] -0.0125 0.24905 1 0 0 Minner Mrotshowa
  572. gsave
  573. 0.002 setlinewidth
  574. 0 0.33587 moveto
  575. 0.00625 0.33587 lineto
  576. stroke
  577. grestore
  578. [(0.25)] -0.0125 0.33587 1 0 0 Minner Mrotshowa
  579. gsave
  580. 0.002 setlinewidth
  581. 0 0.4227 moveto
  582. 0.00625 0.4227 lineto
  583. stroke
  584. grestore
  585. [(0.5)] -0.0125 0.4227 1 0 0 Minner Mrotshowa
  586. gsave
  587. 0.002 setlinewidth
  588. 0 0.50952 moveto
  589. 0.00625 0.50952 lineto
  590. stroke
  591. grestore
  592. [(0.75)] -0.0125 0.50952 1 0 0 Minner Mrotshowa
  593. gsave
  594. 0.002 setlinewidth
  595. 0 0.59635 moveto
  596. 0.00625 0.59635 lineto
  597. stroke
  598. grestore
  599. [(1)] -0.0125 0.59635 1 0 0 Minner Mrotshowa
  600. gsave
  601. 0.001 setlinewidth
  602. 0 0.09276 moveto
  603. 0.00375 0.09276 lineto
  604. stroke
  605. grestore
  606. gsave
  607. 0.001 setlinewidth
  608. 0 0.11012 moveto
  609. 0.00375 0.11012 lineto
  610. stroke
  611. grestore
  612. gsave
  613. 0.001 setlinewidth
  614. 0 0.12749 moveto
  615. 0.00375 0.12749 lineto
  616. stroke
  617. grestore
  618. gsave
  619. 0.001 setlinewidth
  620. 0 0.14485 moveto
  621. 0.00375 0.14485 lineto
  622. stroke
  623. grestore
  624. gsave
  625. 0.001 setlinewidth
  626. 0 0.17958 moveto
  627. 0.00375 0.17958 lineto
  628. stroke
  629. grestore
  630. gsave
  631. 0.001 setlinewidth
  632. 0 0.19695 moveto
  633. 0.00375 0.19695 lineto
  634. stroke
  635. grestore
  636. gsave
  637. 0.001 setlinewidth
  638. 0 0.21431 moveto
  639. 0.00375 0.21431 lineto
  640. stroke
  641. grestore
  642. gsave
  643. 0.001 setlinewidth
  644. 0 0.23168 moveto
  645. 0.00375 0.23168 lineto
  646. stroke
  647. grestore
  648. gsave
  649. 0.001 setlinewidth
  650. 0 0.26641 moveto
  651. 0.00375 0.26641 lineto
  652. stroke
  653. grestore
  654. gsave
  655. 0.001 setlinewidth
  656. 0 0.28378 moveto
  657. 0.00375 0.28378 lineto
  658. stroke
  659. grestore
  660. gsave
  661. 0.001 setlinewidth
  662. 0 0.30114 moveto
  663. 0.00375 0.30114 lineto
  664. stroke
  665. grestore
  666. gsave
  667. 0.001 setlinewidth
  668. 0 0.31851 moveto
  669. 0.00375 0.31851 lineto
  670. stroke
  671. grestore
  672. gsave
  673. 0.001 setlinewidth
  674. 0 0.35324 moveto
  675. 0.00375 0.35324 lineto
  676. stroke
  677. grestore
  678. gsave
  679. 0.001 setlinewidth
  680. 0 0.3706 moveto
  681. 0.00375 0.3706 lineto
  682. stroke
  683. grestore
  684. gsave
  685. 0.001 setlinewidth
  686. 0 0.38797 moveto
  687. 0.00375 0.38797 lineto
  688. stroke
  689. grestore
  690. gsave
  691. 0.001 setlinewidth
  692. 0 0.40533 moveto
  693. 0.00375 0.40533 lineto
  694. stroke
  695. grestore
  696. gsave
  697. 0.001 setlinewidth
  698. 0 0.44006 moveto
  699. 0.00375 0.44006 lineto
  700. stroke
  701. grestore
  702. gsave
  703. 0.001 setlinewidth
  704. 0 0.45743 moveto
  705. 0.00375 0.45743 lineto
  706. stroke
  707. grestore
  708. gsave
  709. 0.001 setlinewidth
  710. 0 0.47479 moveto
  711. 0.00375 0.47479 lineto
  712. stroke
  713. grestore
  714. gsave
  715. 0.001 setlinewidth
  716. 0 0.49216 moveto
  717. 0.00375 0.49216 lineto
  718. stroke
  719. grestore
  720. gsave
  721. 0.001 setlinewidth
  722. 0 0.52689 moveto
  723. 0.00375 0.52689 lineto
  724. stroke
  725. grestore
  726. gsave
  727. 0.001 setlinewidth
  728. 0 0.54426 moveto
  729. 0.00375 0.54426 lineto
  730. stroke
  731. grestore
  732. gsave
  733. 0.001 setlinewidth
  734. 0 0.56162 moveto
  735. 0.00375 0.56162 lineto
  736. stroke
  737. grestore
  738. gsave
  739. 0.001 setlinewidth
  740. 0 0.57899 moveto
  741. 0.00375 0.57899 lineto
  742. stroke
  743. grestore
  744. gsave
  745. 0.001 setlinewidth
  746. 0 0.05803 moveto
  747. 0.00375 0.05803 lineto
  748. stroke
  749. grestore
  750. gsave
  751. 0.001 setlinewidth
  752. 0 0.04066 moveto
  753. 0.00375 0.04066 lineto
  754. stroke
  755. grestore
  756. gsave
  757. 0.001 setlinewidth
  758. 0 0.0233 moveto
  759. 0.00375 0.0233 lineto
  760. stroke
  761. grestore
  762. gsave
  763. 0.001 setlinewidth
  764. 0 0.00593 moveto
  765. 0.00375 0.00593 lineto
  766. stroke
  767. grestore
  768. gsave
  769. 0.001 setlinewidth
  770. 0 0.61372 moveto
  771. 0.00375 0.61372 lineto
  772. stroke
  773. grestore
  774. [(Y\(t\))] -0.0125 0.30902 1 0 90 -1 0 Mouter Mrotshowa
  775. gsave
  776. 0.002 setlinewidth
  777. 0 0 moveto
  778. 0 0.61803 lineto
  779. stroke
  780. grestore
  781. grestore
  782. gsave
  783. gsave
  784. 0.002 setlinewidth
  785. 0.01419 0.61178 moveto
  786. 0.01419 0.61803 lineto
  787. stroke
  788. grestore
  789. gsave
  790. 0.002 setlinewidth
  791. 0.20659 0.61178 moveto
  792. 0.20659 0.61803 lineto
  793. stroke
  794. grestore
  795. gsave
  796. 0.002 setlinewidth
  797. 0.39899 0.61178 moveto
  798. 0.39899 0.61803 lineto
  799. stroke
  800. grestore
  801. gsave
  802. 0.002 setlinewidth
  803. 0.59139 0.61178 moveto
  804. 0.59139 0.61803 lineto
  805. stroke
  806. grestore
  807. gsave
  808. 0.002 setlinewidth
  809. 0.78379 0.61178 moveto
  810. 0.78379 0.61803 lineto
  811. stroke
  812. grestore
  813. gsave
  814. 0.002 setlinewidth
  815. 0.97619 0.61178 moveto
  816. 0.97619 0.61803 lineto
  817. stroke
  818. grestore
  819. gsave
  820. 0.001 setlinewidth
  821. 0.05267 0.61428 moveto
  822. 0.05267 0.61803 lineto
  823. stroke
  824. grestore
  825. gsave
  826. 0.001 setlinewidth
  827. 0.09115 0.61428 moveto
  828. 0.09115 0.61803 lineto
  829. stroke
  830. grestore
  831. gsave
  832. 0.001 setlinewidth
  833. 0.12963 0.61428 moveto
  834. 0.12963 0.61803 lineto
  835. stroke
  836. grestore
  837. gsave
  838. 0.001 setlinewidth
  839. 0.16811 0.61428 moveto
  840. 0.16811 0.61803 lineto
  841. stroke
  842. grestore
  843. gsave
  844. 0.001 setlinewidth
  845. 0.24507 0.61428 moveto
  846. 0.24507 0.61803 lineto
  847. stroke
  848. grestore
  849. gsave
  850. 0.001 setlinewidth
  851. 0.28355 0.61428 moveto
  852. 0.28355 0.61803 lineto
  853. stroke
  854. grestore
  855. gsave
  856. 0.001 setlinewidth
  857. 0.32203 0.61428 moveto
  858. 0.32203 0.61803 lineto
  859. stroke
  860. grestore
  861. gsave
  862. 0.001 setlinewidth
  863. 0.36051 0.61428 moveto
  864. 0.36051 0.61803 lineto
  865. stroke
  866. grestore
  867. gsave
  868. 0.001 setlinewidth
  869. 0.43747 0.61428 moveto
  870. 0.43747 0.61803 lineto
  871. stroke
  872. grestore
  873. gsave
  874. 0.001 setlinewidth
  875. 0.47595 0.61428 moveto
  876. 0.47595 0.61803 lineto
  877. stroke
  878. grestore
  879. gsave
  880. 0.001 setlinewidth
  881. 0.51443 0.61428 moveto
  882. 0.51443 0.61803 lineto
  883. stroke
  884. grestore
  885. gsave
  886. 0.001 setlinewidth
  887. 0.55291 0.61428 moveto
  888. 0.55291 0.61803 lineto
  889. stroke
  890. grestore
  891. gsave
  892. 0.001 setlinewidth
  893. 0.62987 0.61428 moveto
  894. 0.62987 0.61803 lineto
  895. stroke
  896. grestore
  897. gsave
  898. 0.001 setlinewidth
  899. 0.66835 0.61428 moveto
  900. 0.66835 0.61803 lineto
  901. stroke
  902. grestore
  903. gsave
  904. 0.001 setlinewidth
  905. 0.70683 0.61428 moveto
  906. 0.70683 0.61803 lineto
  907. stroke
  908. grestore
  909. gsave
  910. 0.001 setlinewidth
  911. 0.74531 0.61428 moveto
  912. 0.74531 0.61803 lineto
  913. stroke
  914. grestore
  915. gsave
  916. 0.001 setlinewidth
  917. 0.82227 0.61428 moveto
  918. 0.82227 0.61803 lineto
  919. stroke
  920. grestore
  921. gsave
  922. 0.001 setlinewidth
  923. 0.86075 0.61428 moveto
  924. 0.86075 0.61803 lineto
  925. stroke
  926. grestore
  927. gsave
  928. 0.001 setlinewidth
  929. 0.89923 0.61428 moveto
  930. 0.89923 0.61803 lineto
  931. stroke
  932. grestore
  933. gsave
  934. 0.001 setlinewidth
  935. 0.93771 0.61428 moveto
  936. 0.93771 0.61803 lineto
  937. stroke
  938. grestore
  939. [(Time Response of System )] 0.5 0.61803 0 -4 Mshowa
  940. gsave
  941. 0.002 setlinewidth
  942. 0 0.61803 moveto
  943. 1 0.61803 lineto
  944. stroke
  945. grestore
  946. gsave
  947. 0.002 setlinewidth
  948. 0.99375 0.07539 moveto
  949. 1 0.07539 lineto
  950. stroke
  951. grestore
  952. gsave
  953. 0.002 setlinewidth
  954. 0.99375 0.16222 moveto
  955. 1 0.16222 lineto
  956. stroke
  957. grestore
  958. gsave
  959. 0.002 setlinewidth
  960. 0.99375 0.24905 moveto
  961. 1 0.24905 lineto
  962. stroke
  963. grestore
  964. gsave
  965. 0.002 setlinewidth
  966. 0.99375 0.33587 moveto
  967. 1 0.33587 lineto
  968. stroke
  969. grestore
  970. gsave
  971. 0.002 setlinewidth
  972. 0.99375 0.4227 moveto
  973. 1 0.4227 lineto
  974. stroke
  975. grestore
  976. gsave
  977. 0.002 setlinewidth
  978. 0.99375 0.50952 moveto
  979. 1 0.50952 lineto
  980. stroke
  981. grestore
  982. gsave
  983. 0.002 setlinewidth
  984. 0.99375 0.59635 moveto
  985. 1 0.59635 lineto
  986. stroke
  987. grestore
  988. gsave
  989. 0.001 setlinewidth
  990. 0.99625 0.09276 moveto
  991. 1 0.09276 lineto
  992. stroke
  993. grestore
  994. gsave
  995. 0.001 setlinewidth
  996. 0.99625 0.11012 moveto
  997. 1 0.11012 lineto
  998. stroke
  999. grestore
  1000. gsave
  1001. 0.001 setlinewidth
  1002. 0.99625 0.12749 moveto
  1003. 1 0.12749 lineto
  1004. stroke
  1005. grestore
  1006. gsave
  1007. 0.001 setlinewidth
  1008. 0.99625 0.14485 moveto
  1009. 1 0.14485 lineto
  1010. stroke
  1011. grestore
  1012. gsave
  1013. 0.001 setlinewidth
  1014. 0.99625 0.17958 moveto
  1015. 1 0.17958 lineto
  1016. stroke
  1017. grestore
  1018. gsave
  1019. 0.001 setlinewidth
  1020. 0.99625 0.19695 moveto
  1021. 1 0.19695 lineto
  1022. stroke
  1023. grestore
  1024. gsave
  1025. 0.001 setlinewidth
  1026. 0.99625 0.21431 moveto
  1027. 1 0.21431 lineto
  1028. stroke
  1029. grestore
  1030. gsave
  1031. 0.001 setlinewidth
  1032. 0.99625 0.23168 moveto
  1033. 1 0.23168 lineto
  1034. stroke
  1035. grestore
  1036. gsave
  1037. 0.001 setlinewidth
  1038. 0.99625 0.26641 moveto
  1039. 1 0.26641 lineto
  1040. stroke
  1041. grestore
  1042. gsave
  1043. 0.001 setlinewidth
  1044. 0.99625 0.28378 moveto
  1045. 1 0.28378 lineto
  1046. stroke
  1047. grestore
  1048. gsave
  1049. 0.001 setlinewidth
  1050. 0.99625 0.30114 moveto
  1051. 1 0.30114 lineto
  1052. stroke
  1053. grestore
  1054. gsave
  1055. 0.001 setlinewidth
  1056. 0.99625 0.31851 moveto
  1057. 1 0.31851 lineto
  1058. stroke
  1059. grestore
  1060. gsave
  1061. 0.001 setlinewidth
  1062. 0.99625 0.35324 moveto
  1063. 1 0.35324 lineto
  1064. stroke
  1065. grestore
  1066. gsave
  1067. 0.001 setlinewidth
  1068. 0.99625 0.3706 moveto
  1069. 1 0.3706 lineto
  1070. stroke
  1071. grestore
  1072. gsave
  1073. 0.001 setlinewidth
  1074. 0.99625 0.38797 moveto
  1075. 1 0.38797 lineto
  1076. stroke
  1077. grestore
  1078. gsave
  1079. 0.001 setlinewidth
  1080. 0.99625 0.40533 moveto
  1081. 1 0.40533 lineto
  1082. stroke
  1083. grestore
  1084. gsave
  1085. 0.001 setlinewidth
  1086. 0.99625 0.44006 moveto
  1087. 1 0.44006 lineto
  1088. stroke
  1089. grestore
  1090. gsave
  1091. 0.001 setlinewidth
  1092. 0.99625 0.45743 moveto
  1093. 1 0.45743 lineto
  1094. stroke
  1095. grestore
  1096. gsave
  1097. 0.001 setlinewidth
  1098. 0.99625 0.47479 moveto
  1099. 1 0.47479 lineto
  1100. stroke
  1101. grestore
  1102. gsave
  1103. 0.001 setlinewidth
  1104. 0.99625 0.49216 moveto
  1105. 1 0.49216 lineto
  1106. stroke
  1107. grestore
  1108. gsave
  1109. 0.001 setlinewidth
  1110. 0.99625 0.52689 moveto
  1111. 1 0.52689 lineto
  1112. stroke
  1113. grestore
  1114. gsave
  1115. 0.001 setlinewidth
  1116. 0.99625 0.54426 moveto
  1117. 1 0.54426 lineto
  1118. stroke
  1119. grestore
  1120. gsave
  1121. 0.001 setlinewidth
  1122. 0.99625 0.56162 moveto
  1123. 1 0.56162 lineto
  1124. stroke
  1125. grestore
  1126. gsave
  1127. 0.001 setlinewidth
  1128. 0.99625 0.57899 moveto
  1129. 1 0.57899 lineto
  1130. stroke
  1131. grestore
  1132. gsave
  1133. 0.001 setlinewidth
  1134. 0.99625 0.05803 moveto
  1135. 1 0.05803 lineto
  1136. stroke
  1137. grestore
  1138. gsave
  1139. 0.001 setlinewidth
  1140. 0.99625 0.04066 moveto
  1141. 1 0.04066 lineto
  1142. stroke
  1143. grestore
  1144. gsave
  1145. 0.001 setlinewidth
  1146. 0.99625 0.0233 moveto
  1147. 1 0.0233 lineto
  1148. stroke
  1149. grestore
  1150. gsave
  1151. 0.001 setlinewidth
  1152. 0.99625 0.00593 moveto
  1153. 1 0.00593 lineto
  1154. stroke
  1155. grestore
  1156. gsave
  1157. 0.001 setlinewidth
  1158. 0.99625 0.61372 moveto
  1159. 1 0.61372 lineto
  1160. stroke
  1161. grestore
  1162. [( )] 1.0375 0.30902 -1 0 90 Mrotshowa
  1163. gsave
  1164. 0.002 setlinewidth
  1165. 1 0 moveto
  1166. 1 0.61803 lineto
  1167. stroke
  1168. grestore
  1169. grestore
  1170. gsave
  1171. gsave
  1172. 0.002 setlinewidth
  1173. 0 0.24905 moveto
  1174. 1 0.24905 lineto
  1175. stroke
  1176. grestore
  1177. grestore
  1178. gsave
  1179. gsave
  1180. 0.004 setlinewidth
  1181. 0.02381 0.59939 moveto
  1182. 0.02877 0.60062 lineto
  1183. 0.03373 0.60162 lineto
  1184. 0.03621 0.60203 lineto
  1185. 0.03869 0.60238 lineto
  1186. 0.04117 0.60268 lineto
  1187. 0.04365 0.60292 lineto
  1188. 0.04613 0.60311 lineto
  1189. 0.04737 0.60318 lineto
  1190. 0.04861 0.60323 lineto
  1191. 0.04985 0.60328 lineto
  1192. 0.05109 0.60331 lineto
  1193. 0.05233 0.60332 lineto
  1194. 0.05357 0.60332 lineto
  1195. 0.05481 0.6033 lineto
  1196. 0.05605 0.60328 lineto
  1197. 0.05729 0.60323 lineto
  1198. 0.05853 0.60318 lineto
  1199. 0.06101 0.60302 lineto
  1200. 0.06349 0.60281 lineto
  1201. 0.06845 0.60222 lineto
  1202. 0.07341 0.60141 lineto
  1203. 0.08333 0.59912 lineto
  1204. 0.09325 0.59597 lineto
  1205. 0.10317 0.59198 lineto
  1206. 0.12302 0.58152 lineto
  1207. 0.14286 0.56792 lineto
  1208. 0.18254 0.53217 lineto
  1209. 0.22222 0.48668 lineto
  1210. 0.2619 0.43374 lineto
  1211. 0.30159 0.37585 lineto
  1212. 0.34127 0.31561 lineto
  1213. 0.38095 0.25561 lineto
  1214. 0.42063 0.19835 lineto
  1215. 0.46032 0.14608 lineto
  1216. 0.5 0.10077 lineto
  1217. 0.53968 0.06403 lineto
  1218. 0.55952 0.04926 lineto
  1219. 0.57937 0.03704 lineto
  1220. 0.59921 0.02744 lineto
  1221. 0.60913 0.02364 lineto
  1222. 0.61905 0.02051 lineto
  1223. 0.62897 0.01806 lineto
  1224. 0.63393 0.01708 lineto
  1225. 0.63889 0.01628 lineto
  1226. 0.64385 0.01564 lineto
  1227. 0.64633 0.01538 lineto
  1228. 0.64881 0.01517 lineto
  1229. 0.65129 0.01499 lineto
  1230. 0.65377 0.01486 lineto
  1231. Mistroke
  1232. 0.65501 0.01481 lineto
  1233. 0.65625 0.01477 lineto
  1234. 0.65749 0.01474 lineto
  1235. 0.65873 0.01472 lineto
  1236. 0.65997 0.01472 lineto
  1237. 0.66121 0.01472 lineto
  1238. 0.66245 0.01473 lineto
  1239. 0.66369 0.01475 lineto
  1240. 0.66493 0.01478 lineto
  1241. 0.66617 0.01483 lineto
  1242. 0.66865 0.01494 lineto
  1243. 0.67113 0.0151 lineto
  1244. 0.67361 0.0153 lineto
  1245. 0.67857 0.01581 lineto
  1246. 0.68353 0.01649 lineto
  1247. 0.68849 0.01733 lineto
  1248. 0.69841 0.01948 lineto
  1249. 0.70833 0.02225 lineto
  1250. 0.71825 0.02563 lineto
  1251. 0.7381 0.03415 lineto
  1252. 0.77778 0.05772 lineto
  1253. 0.81746 0.08887 lineto
  1254. 0.85714 0.12599 lineto
  1255. 0.89683 0.16729 lineto
  1256. 0.93651 0.2109 lineto
  1257. 0.97619 0.2549 lineto
  1258. Mfstroke
  1259. grestore
  1260. grestore
  1261. 0 0 moveto
  1262. 1 0 lineto
  1263. 1 0.61803 lineto
  1264. 0 0.61803 lineto
  1265. closepath
  1266. clip
  1267. newpath
  1268. % End of Graphics
  1269. MathPictureEnd
  1270. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; rightWrapOffset = 526; endGroup; endGroup; endGroup; ]
  1271. {{(CStep[t]*(33*E^(t/2) - 33*Cos[(3*11^(1/2)*t)/2] - 
  1272.          11^(1/2)*Sin[(3*11^(1/2)*t)/2]))/(825*E^(t/2)) + 
  1273.     (CStep[t]*(11*Cos[(3*11^(1/2)*t)/2] + 
  1274.          11^(1/2)*Sin[(3*11^(1/2)*t)/2]))/(11*E^(t/2)), 
  1275.    (2*CStep[t]*Sin[(3*11^(1/2)*t)/2])/(3*11^(1/2)*E^(t/2)) + 
  1276.     (CStep[t]*(11*Cos[(3*11^(1/2)*t)/2] - 
  1277.          17*11^(1/2)*Sin[(3*11^(1/2)*t)/2]))/(11*E^(t/2))}, 
  1278.   (CStep[t]*(33*E^(t/2) - 33*Cos[(3*11^(1/2)*t)/2] - 
  1279.         11^(1/2)*Sin[(3*11^(1/2)*t)/2]))/(825*E^(t/2)) + 
  1280.    (CStep[t]*(11*Cos[(3*11^(1/2)*t)/2] + 11^(1/2)*Sin[(3*11^(1/2)*t)/2]))/
  1281.     (11*E^(t/2))}
  1282. ;[o]
  1283.                 t/2          3 Sqrt[11] t
  1284.   CStep[t] (33 E    - 33 Cos[------------] - 
  1285.                                   2
  1286.    
  1287.                    3 Sqrt[11] t
  1288.       Sqrt[11] Sin[------------])
  1289.                         2
  1290. {{---------------------------------------------------------------------- \
  1291.                                       t/2
  1292.                                  825 E
  1293.  
  1294.                         3 Sqrt[11] t                 3 Sqrt[11] t
  1295.        CStep[t] (11 Cos[------------] + Sqrt[11] Sin[------------])
  1296.                              2                            2
  1297.      + ------------------------------------------------------------, 
  1298.                                      t/2
  1299.                                  11 E
  1300.  
  1301.                   3 Sqrt[11] t
  1302.    2 CStep[t] Sin[------------]
  1303.                        2
  1304.    ---------------------------- + 
  1305.                      t/2
  1306.          3 Sqrt[11] E
  1307.  
  1308.                      3 Sqrt[11] t                    3 Sqrt[11] t
  1309.     CStep[t] (11 Cos[------------] - 17 Sqrt[11] Sin[------------])
  1310.                           2                               2
  1311.     ---------------------------------------------------------------}, 
  1312.                                     t/2
  1313.                                 11 E
  1314.  
  1315.                 t/2          3 Sqrt[11] t
  1316.   CStep[t] (33 E    - 33 Cos[------------] - 
  1317.                                   2
  1318.    
  1319.                    3 Sqrt[11] t
  1320.       Sqrt[11] Sin[------------])
  1321.                         2
  1322.   ---------------------------------------------------------------------- \
  1323.                                       t/2
  1324.                                  825 E
  1325.  
  1326.                        3 Sqrt[11] t                 3 Sqrt[11] t
  1327.       CStep[t] (11 Cos[------------] + Sqrt[11] Sin[------------])
  1328.                             2                            2
  1329.     + ------------------------------------------------------------}
  1330.                                     t/2
  1331.                                 11 E
  1332. :[font = section; inactive; Cclosed; preserveAspect; rightWrapOffset = 526; startGroup; ]
  1333. Controllability
  1334. :[font = text; inactive; preserveAspect; rightWrapOffset = 526; ]
  1335.  
  1336.     A state space system om a stamdard form is completely state controllable if and only if at any time t = t0, there exists an unconstrained control signal u(t) that can drive the system from any initial state x(0) to any final state.  This must be done in a finite time interval t0<t<t1. If this holds true for all states, then a system is considered to be completely state  controllable.
  1337.     For any given initial state x(0), a system is completely state controllable if and only if the (n x nr) matrix (called the controllability matrix)
  1338.  
  1339.       [ B | AB | ... | An-2B | An-1B ] ,
  1340.  
  1341. is full rank (i.e., of rank n, where `n' is the dimension of the state space).
  1342.  
  1343. COSY_PAK Function
  1344. Controllable[A, B]: returns a logic (boolean) value representing the complete state controllability of system A, B.
  1345. ;[s]
  1346. 14:0,0;559,1;562,2;567,3;570,4;573,5;657,6;674,7;675,8;694,9;784,10;786,11;788,12;789,13;790,-1;
  1347. 14:1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,13,10,Times,32,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,13,10,Times,32,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,13,10,Times,32,14,0,0,0;1,13,11,Courier,1,17,0,0,0;1,11,9,Courier,1,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,11,8,Times,0,12,0,0,0;
  1348. :[font = subsubsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; rightWrapOffset = 526; startGroup; ]
  1349. Example 1
  1350. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; rightWrapOffset = 526; startGroup; ]
  1351. a={{1,1},{2,-1}};b={{0},{1}};
  1352. Controllable[a,b]
  1353. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; rightWrapOffset = 526; endGroup; endGroup; ]
  1354. True
  1355. ;[o]
  1356. True
  1357. :[font = subsubsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; rightWrapOffset = 526; startGroup; ]
  1358. Example 2
  1359. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; rightWrapOffset = 526; startGroup; ]
  1360. a={{1,1},{0,-1}};b={{1},{0}};
  1361. Controllable[a,b]
  1362. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; rightWrapOffset = 526; endGroup; endGroup; endGroup; ]
  1363. False
  1364. ;[o]
  1365. False
  1366. :[font = section; inactive; Cclosed; preserveAspect; rightWrapOffset = 526; startGroup; ]
  1367. Observability
  1368. :[font = text; inactive; preserveAspect; rightWrapOffset = 526; ]
  1369. A system represented in a standard state space form is considered to be completely observable if and only if all the system's states at any time t = t0 (x(t0)) can be calculated from the value of the output y(t) over a finite time interval  t0<t<t1.
  1370.     A system is completely observable if and only if the (mn x n) matrix (called the observability matrix)
  1371.  
  1372. |    C     |
  1373. |    CA     |
  1374. |    .     |
  1375. |    .     |
  1376. |    .     |
  1377. |    CAn-2     |
  1378. |    CAn-1     |
  1379.  
  1380. is full rank (i.e., has a rank n).
  1381.  
  1382. COSY_PAK Function
  1383. Observable[A, C]:  Returns a logic (boolean) value representing the complete state observability of system A, C.
  1384.  
  1385. ;[s]
  1386. 20:0,0;72,1;82,2;83,3;93,4;263,5;284,6;398,7;401,8;412,9;415,10;418,11;456,12;473,13;474,14;491,15;581,16;582,17;584,18;585,19;587,-1;
  1387. 20:1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,13,10,Times,2,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,13,10,Times,2,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,13,10,Times,2,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,13,10,Times,32,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,13,10,Times,32,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,11,9,Courier,0,14,0,0,0;1,13,11,Courier,1,17,0,0,0;1,11,9,Courier,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;
  1388. :[font = subsubsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; rightWrapOffset = 526; startGroup; ]
  1389. Example 1
  1390. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; rightWrapOffset = 526; startGroup; ]
  1391. a={{1,1},{-2,-1}};
  1392. c={{1,0}};
  1393. Observable[a,c]
  1394. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; rightWrapOffset = 526; endGroup; endGroup; endGroup; ]
  1395. True
  1396. ;[o]
  1397. True
  1398. :[font = section; inactive; Cclosed; preserveAspect; rightWrapOffset = 526; startGroup; ]
  1399. Output-Controllability
  1400. :[font = text; inactive; preserveAspect; rightWrapOffset = 526; ]
  1401.          If one wants to control the output of system instead of the state the system must be  output controllable as opposed to state controllable.  
  1402.  
  1403.   A system in the standard state space form is completely output controllable if at any time t = t0 there exists an unconstrained control signal u that can drive the system from any initial output y(0) to any final output.  This  must be done in a finite time interval t0<t<t1.
  1404.       For any given initial output y(0), a system is complete output controllable if and only if the m x (n + 1)r matrix 
  1405.                           
  1406.                       [ CB | CAB | ... | CAn-2B | CAn-1B | D ],
  1407. is full rank.
  1408.  
  1409. COSY_PAK Function
  1410. OutControllable[A, B, C, D]: Returns a logic (boolean) value representing the output controllability of system A, B, C, D.
  1411. ;[s]
  1412. 23:0,0;95,1;114,2;199,3;229,4;480,5;508,6;616,7;619,8;625,9;628,10;652,11;669,12;670,13;698,14;781,15;782,16;784,17;785,18;787,19;788,20;790,21;791,22;792,-1;
  1413. 23:1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,13,10,Times,2,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,13,10,Times,2,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,13,10,Times,2,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,13,10,Times,32,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,13,10,Times,32,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,13,11,Courier,1,17,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;
  1414. :[font = subsubsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; rightWrapOffset = 526; startGroup; ]
  1415. Example 1
  1416. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; rightWrapOffset = 526; startGroup; ]
  1417. a={{1,1},{-2,-1}};
  1418. b={{0},{1}};
  1419. c={{1,0}};
  1420. d={{0,0}};
  1421. OutControllable[a,b,c,]
  1422. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; rightWrapOffset = 526; endGroup; endGroup; endGroup; ]
  1423. True
  1424. ;[o]
  1425. True
  1426. :[font = section; inactive; Cclosed; preserveAspect; rightWrapOffset = 526; startGroup; ]
  1427. Pole-Placement Design 
  1428. :[font = text; inactive; preserveAspect; rightWrapOffset = 526; ]
  1429. The pole placement approach to controller design allows the designer to place all closed-loop poles of the system. The system
  1430.                     x' = Ax + Bu
  1431. with the choice of the input
  1432.                    u = -Kx,
  1433. transforms the system equation to              
  1434.               x' = (A - BK)x.
  1435.  
  1436. The feedback gain matrix K can be selected such that the eigenvalues of (A - BK) have the values of the desired pole locations. System controllability is assumed. 
  1437.  
  1438.  Ackermann's formula
  1439.  
  1440. K = [0 0 ... 0 1] [B | AB | ... | An-1B]-1 f(A)
  1441.  
  1442. is applied to the input matrices A and B. The function f(A) can be computed by first calculating the desired characteristic equation
  1443.               f(s) = (s-pd1) (s-pd2) ... (s-pdn)
  1444.                       = |sI - (A - BK)|
  1445. where pd1, pd2, ... pdn are the desired location of poles (eigenvalues).  We can find f(A), by replacing the variable `s' by A. Further,  f(A) can be calculated using Cayley-Hamilton  theorem. 
  1446.  
  1447. Remark : The principle of the Cayley-Hamilton theorem states that a matrix satisfies its own characteristic equation.
  1448.  
  1449. COSY_PAK Function
  1450. PolePlaceGain[A, B, newpoles]: Returns gain matirix K to place poles of system A - BK at  locations specified by newpoles. Uses Ackermann's formula.
  1451. ;[s]
  1452. 31:0,0;517,1;520,2;522,3;524,4;689,5;690,6;691,7;697,8;698,9;699,10;709,11;710,12;711,13;760,14;761,15;762,16;765,17;766,18;767,19;774,20;775,21;776,22;1067,23;1084,24;1085,25;1115,26;1137,27;1138,28;1164,29;1170,30;1234,-1;
  1453. 31:1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,13,10,Times,32,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,13,10,Times,32,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,13,10,Times,64,14,0,0,0;1,13,10,Times,64,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,13,10,Times,64,14,0,0,0;1,13,10,Times,64,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,13,10,Times,64,14,0,0,0;1,13,10,Times,64,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,13,10,Times,64,14,0,0,0;1,13,10,Times,64,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,13,10,Times,64,14,0,0,0;1,13,10,Times,64,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,13,10,Times,64,14,0,0,0;1,13,10,Times,64,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,13,11,Courier,1,17,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;
  1454. :[font = subsubsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; rightWrapOffset = 526; startGroup; ]
  1455. Example 
  1456. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; rightWrapOffset = 526; startGroup; ]
  1457. a={{0,1},{20.6,0}};
  1458. b={{0},{1}};
  1459. c={{0,1}};
  1460. poles={-1.8+ I 2.4, -1.8- I 2.4};
  1461. PolePlaceGain[a,b,poles]
  1462. ;[s]
  1463. 3:0,0;78,1;91,2;102,-1;
  1464. 3:1,11,9,Courier,1,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,10,8,Courier,1,12,0,0,0;
  1465. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; rightWrapOffset = 526; endGroup; endGroup; endGroup; ]
  1466. {{29.6 + 0.*I, 3.6 + 0.*I}}
  1467. ;[o]
  1468. {{29.6 + 0. I, 3.6 + 0. I}}
  1469. :[font = section; inactive; Cclosed; preserveAspect; rightWrapOffset = 526; startGroup; ]
  1470. Observer Design
  1471. :[font = text; inactive; preserveAspect; rightWrapOffset = 526; ]
  1472.  
  1473.     Not all state variables are always available for use in state feedback control.  A 
  1474. system and the corresponding control law described by 
  1475. x' = Ax + Bu
  1476. y  = Cx
  1477. u = -Kx
  1478. where
  1479. K = r x n  gain matrix, is not realizable since in many practical situations the state vector is not available (e.g. cannot be measured).
  1480.  
  1481. This problem can be overcome by desingning an `observer' to estimate the state variables by observing the output and the input variables. Such an observer is a dynamic observer if it has to be implemented as a dynamic system. An observer is a full order observer if all states can be estimated. 
  1482.  
  1483. If the system is completely state observable, then a full order observer can be designed.  
  1484. The complete state observer is given by
  1485.             
  1486.             x~' = Ax~ + Bu + Ke(y - C x~).
  1487.  
  1488. where x~ is the estimate of the state variable x by the observer, i.e., x~ is the output of the observer. The input to this dynamic observer are the output  y and the input u.
  1489.     
  1490.     Ackermann's formula can be used to find the state observer gain matrix Ke using 
  1491. the dual of the above system which gives
  1492.  
  1493.                                           z' = A*z + C*v
  1494.                                           w  = B*z
  1495.  
  1496. and
  1497.         |    C     | -1    |    0     |
  1498.         |    .     |    |    .     |
  1499. K*= f(A*)*    |    .     |    |    .     |
  1500.         |    .     |    |    .     |
  1501.         |    CAn-2     |    |    0     |
  1502.         |    CAn-1     |    |    1     |
  1503.  
  1504.  
  1505.  
  1506. where Ke = K*.   The notation `*' represents the complex conjugate transpose. The feedback gain matrix Ke can be selected such that the poles of the observers are much faster  than pole locations of the controller. The function f(A*) can be computed by first calculating the desired characteristic equation
  1507.               f(s) = (s-pd1) (s-pd2) ... (s-pdn)
  1508. where pd1, pd2, ... pdn are the desired location of poles (eigenvalues) for the dynamic observer. These values are choosen depending on how fast one can allow the state estimates to converge to the actual state variables. We can find f(A*), by replacing the variable `s' by A* - the complex conjugate  transpose of A. Also,  f(A*) can be calculated using Cayley-Hamilton  theorem. 
  1509.  
  1510. Remark :  Cayley-Hamilton theorem states that a matrix satisfies its own characteristic equation.
  1511.  
  1512. COSY_PAK Function
  1513. ObsPolePlace[A, C, newpoles]: Determines state observer gain matrix using Ackermann's formula.
  1514. ;[s]
  1515. 31:0,0;1225,1;1227,2;1298,3;1301,4;1318,5;1321,6;1667,7;1668,8;1669,9;1675,10;1676,11;1677,12;1687,13;1688,14;1689,15;1698,16;1699,17;1700,18;1703,19;1704,20;1705,21;1712,22;1713,23;1714,24;2074,25;2084,26;2171,27;2173,28;2190,29;2221,30;2285,-1;
  1516. 31:1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,13,10,Times,32,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,13,10,Times,32,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,13,10,Times,32,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,13,10,Times,64,14,0,0,0;1,13,10,Times,64,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,13,10,Times,64,14,0,0,0;1,13,10,Times,64,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,13,10,Times,64,14,0,0,0;1,13,10,Times,64,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,13,10,Times,64,14,0,0,0;1,13,10,Times,64,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,13,10,Times,64,14,0,0,0;1,13,10,Times,64,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,13,10,Times,64,14,0,0,0;1,13,10,Times,64,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,11,Courier,1,17,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,13,10,Times,0,14,0,0,0;
  1517. :[font = subsubsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; rightWrapOffset = 526; startGroup; ]
  1518. Example 
  1519. :[font = input; Cclosed; preserveAspect; rightWrapOffset = 526; startGroup; ]
  1520. a={{0,20.6},{1,0}};
  1521. b={{0},{1}};
  1522. c={{0,1}};
  1523. despoles ={-1.8+ I 2.4, -1.8- I 2.4};
  1524. ObsPolePlace[a,c,despoles]
  1525. ;[s]
  1526. 3:0,0;82,1;94,2;115,-1;
  1527. 3:1,11,9,Courier,1,14,0,0,0;1,12,9,Times,1,14,0,0,0;1,10,8,Courier,1,12,0,0,0;
  1528. :[font = output; output; inactive; preserveAspect; rightWrapOffset = 526; endGroup; endGroup; endGroup; ]
  1529. {{29.6 + 0.*I}, {3.6 + 0.*I}}
  1530. ;[o]
  1531. {{29.6 + 0. I}, {3.6 + 0. I}}
  1532. ^*)